DM2-EP
Nicolas Homberg
24 février 2017
Sujet 1 - Politiques de cache
Question 1 - Étudiez de la même façon (en simulation) la politique “Move-Ahead”. Comme pour LRU, on suppose que notre cache est trié par date d’accès. Si un objet est déjà présent dans le cache, on le décale d’un cran vers la gauche. Si un objet n’est pas présent dans le cache, on le ramène en position K.
(reprise et modification du code donné en TD, code écrit par Arnaud Legrand disponible sur son site
N = 100
a = 0.1
b = (1-a)/(N-1)
K = 20
T = 10000
access = sample(c(1:N), T, prob=c(a,rep(b,N-1)), replace=TRUE)
head(access)## [1] 60 92 70 58 93 57cache = sample(c(1:N), K, prob=c(a,rep(b,N-1)), replace=FALSE) # Un cache initial
cacheTFront = cache
posA = c() ;
missA = c() ;
miss = c()
for(obj in access) {
if(obj %in% cache) {
pos = (1:K)[cache==obj];
if(pos != 1 ){
tmp = cache[pos]
cache[pos] = cache [pos-1]
cache[pos-1] = tmp
}
#cache = c(obj,cache[-pos])
miss=c(miss,0);
if(1 %in% cache) {
posA = c(posA,((1:K)[!is.na(cache) & cache==1]));
} else {
posA = c(posA,NA);
}
} else {
cache = c(cache[-K],obj)
miss=c(miss,1);
if(obj==1) {
missA=c(missA,1);
} else {
missA=c(missA,0);
}
}
}
head(cache)## [1] 1 65 46 64 72 16head(posA)## [1] 7 6 6 6 6 6head(miss)## [1] 1 1 1 1 1 1head(miss)## [1] 1 1 1 1 1 1plot(posA); lines(posA);
err = sd(miss)/sqrt(length(miss));
mean(miss)-2*err;## [1] 0.7192008mean(miss)+2*err## [1] 0.7369992Question 2 - Construisez une chaîne de Markov (spécifique à la taille du cache cette fois-ci, à la différence de ce qu’on a fait pour LRU) et retrouvez les probabilités précédentes (probabilité d’éviction de l’élément A et taux de défauts de cache).
on va considerer un élement e situé à la ième position du cache et soit p sa probabilité d’apparition dans access ( donc p = a si e = 1 sinon p = b )
si i > k :
la position de e dans le cache sera k avec une probabilité de p et sera i+1 avec une probabilité 1-p
si 1< i <= k :
Soit l’élement courant c qui est en position j
si j > i+1 : la position de e dans le cache sera i-1 avec un proba p et restera i autrement
si j <= i+1 : la position de e dans le cache sera i-1 avec une probabilité p et i+1 si j et en position i+1.
si i = 1 : la position de e restera 1 sauf si c est en deuxième position alors e sera en deuxième position ( avec une probabilité 1-p )
markov=matrix(rep(0,N*N),nrow=N);
markov[1,1] = 1-b;
markov[1,2] = b
for(i in 2:(N-1)) {
if(i<K){
markov[i,i-1] = a ;
markov[i,i+1] = b
markov[i,i]= 1-b-a
}
if(i>K){
markov[i,K] = a ;
markov[i,i]= 1-a ;
}
}
options(digits = 2)
E=head(eigen(t(markov)))
head(E$values)## [1] 1.00 0.95 0.95 0.94 0.94 0.93ssp=E$vectors[,1];
ssp = Re(ssp/(sum(ssp)))
options(digits=7);
ssp## [1] 9.090909e-01 8.264463e-02 7.513148e-03 6.830135e-04 6.209213e-05
## [6] 5.644739e-06 5.131581e-07 4.665074e-08 4.240976e-09 3.855433e-10
## [11] 3.504939e-11 3.186308e-12 2.896644e-13 2.633311e-14 2.393906e-15
## [16] 2.176143e-16 1.976959e-17 1.783718e-18 1.486355e-19 1.351232e-21
## [21] 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00
## [26] 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00
## [31] 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00
## [36] 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00
## [41] 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00
## [46] 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00
## [51] 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00
## [56] 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00
## [61] 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00
## [66] 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00
## [71] 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00
## [76] 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00
## [81] 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00
## [86] 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00
## [91] 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00
## [96] 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00puis on calucule la probabilité de A d’être dans le cache :
sum(ssp[1:K])## [1] 1On arrive a une probabilité très proche de 1.
Question 3 - Comparez “Move-Ahead” à “Move-to-front/LRU” en fonction de la taille du cache.
missTFront=c()
missATFront=c()
posATFront=c();
for(obj in access) {
if(obj %in% cacheTFront) {
pos = (1:K)[cacheTFront==obj];
cacheTFront = c(obj,cacheTFront[-pos])
missTFront=c(missTFront,0);
missATFront=c(missATFront,0);
} else {
cacheTFront = c(obj,cacheTFront[-K])
missTFront=c(missTFront,1);
if(obj == 1) {
missATFront=c(missATFront,1);
} else {
missATFront=c(missATFront,0);
}
}
if(1 %in% cacheTFront) {
posATFront = c(posATFront, (1:K)[cacheTFront==1]);
} else {
posATFront = c(posATFront, NA);
}
}on compare ensuite les deux façon de faire :
nombre de miss sur le move ahead
sum(miss) ## [1] 7281sum(missA)## [1] 0nombre de miss sur le move to front
sum(missTFront)## [1] 7357sum(missATFront)## [1] 90On peut voir que le nombre de miss total est très proche, ce qui est normal car il y’a beacoup d’élément pour une taille de cache assez petite.
Pour les miss d’un élément fréquent ( a ) on voit que move ahead est bien plus efficace car l’élement à plus de chance de rester dans le cache et on peut voir que la position de A est souvent dans les premiers élement du cache pour le move ahead (voir au deussus )
sum(missATFront) - sum(missA)## [1] 90plot(posATFront); lines(posATFront)
plot(posA); lines(posA)
Question 4 - Faites une simulation à évènement discret pour LRU et pour Move-Ahead en supposant cette fois-ci que la popularité des objets suit une loi de puissance (i.e., P(i) proportionnel à α^i avec α∈]0,1[).
coef = 0.5
p = c()
pcurrent = coef
for (i in 1:N ){
p = c(p,pcurrent)
pcurrent = pcurrent*coef
}
head (p)## [1] 0.500000 0.250000 0.125000 0.062500 0.031250 0.015625sum(p)## [1] 1access = sample(c(1:N), T, prob=p, replace=TRUE)
cache = sample(c(1:N), K, prob=p, replace=FALSE) # Un cache initial
cacheTFront = cache
head (access)## [1] 1 3 1 2 2 2On réexecute les codes que je ne montre pas (même que plus haut)
le nombre d’objet manqué :
sum(missTFront)## [1] 0sum(miss)## [1] 0- on remaque que dans ce cas la il y a très peu de manque de cache car c’est toujours élément sont très souvent les mêmes
hist(access)
Idem pour l’objet a ( c’est le premier celui avec la plus grosse probailité d’apparition )
sum(missA)## [1] 0sum(missATFront)## [1] 0les deux modèles sont efficasses car les derniers élements n’ont quasiement aucune chance de sortir.
Sujet 2 - Comparaisons de méthodes pour calculer l’état stationnaire
creation des matrices :
set.seed(42)- matrice ligne :
N = 10
ligne = matrix(rep(0,N*N),nrow=N)
for(i in 2:(N)){
ligne[i-1,i] = 1
ligne[i,i-1] = 1
}
ligne## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
## [1,] 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
## [2,] 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0
## [3,] 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
## [4,] 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
## [5,] 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0
## [6,] 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0
## [7,] 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0
## [8,] 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0
## [9,] 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1
## [10,] 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0- matrice anneau
anneau = matrix(rep(0,N*N),nrow=N)
for(i in 2:(N)){
anneau[i-1,i] = 1
anneau[i,i-1] = 1
}
anneau[1,N] =1
anneau[N,1] = 1
anneau ## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
## [1,] 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
## [2,] 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0
## [3,] 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
## [4,] 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
## [5,] 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0
## [6,] 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0
## [7,] 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0
## [8,] 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0
## [9,] 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1
## [10,] 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0- matrice sucette
sucette = matrix(rep(0,N*N),nrow=N)
for(i in 2:(N)){
sucette[i-1,i] = 1
sucette[i,i-1] = 1
}
end_anneau = as.integer(0.8*N)
sucette[end_anneau,1] =1
sucette[1,end_anneau]= 1
sucette## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
## [1,] 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
## [2,] 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0
## [3,] 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
## [4,] 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
## [5,] 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0
## [6,] 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0
## [7,] 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0
## [8,] 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0
## [9,] 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1
## [10,] 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0première méthode déplacement aléatoire :
metho1 <- function (m,t ){
res = c(rep(0,N))
etat = round( runif(1,min=1,max = N) )
res[etat] = 1
for (i in 1:t){
num = sum(m[etat,])
alea = round(runif(1,min =1,max= num) ) #tire un nombre pour savoir quel sera l'état suivant
j = 1
tmp = 0
while(tmp<alea){
tmp= tmp+ m[etat,j]
j = j +1
}
etat = j-1 ;
res[etat] = res[etat] +1
}
res = res/t
return(res)
}On va calculer la moyenne sur 100 marches alétoires différentes :
moyenne <- function (m,rep,t){
res= c(rep(0,N))
for(i in 1:rep){
res = res + metho1(m,t)
}
return(res/rep)
}voyons ce que cela donne pour la ligne
p = moyenne(ligne,500,100)
p## [1] 0.05570 0.11286 0.11512 0.11502 0.11210 0.11114 0.11206 0.11114
## [9] 0.11010 0.05476plot(p)
On arrive a voir clairement que les états intermédiaires sont équiprobable tandis que les deux extrémités sont deux fois moins probable cela est facilement explicable car il n’y qu’un seul lien vers les extrémités alors que tous les autres ont deux liens.
regardons maintenant pour l’anneau :
p = moyenne(anneau,500,100)
p## [1] 0.10108 0.09896 0.09800 0.09720 0.09796 0.10212 0.10420 0.10310
## [9] 0.10414 0.10324plot(p)
On voit que tous les états sont équiprobables, on peut voir que la différence de fréquence entre chaque état est très petite et se rapproche du 1/N
et enfin pour la sucette :
p = moyenne(sucette,500,100)
p## [1] 0.07982 0.09240 0.10182 0.10942 0.11826 0.12586 0.13354 0.14272
## [9] 0.07160 0.03456plot(p)
La encore c’est facilement explicable le dernier état en fin de queue possède qu’un seul lien donc est moins susceptible de tomber alors que l’état qui relie l’anneau à la queue a beaucoup de chance de sortir car possède 3 liens. De plus on voit que les états suivant dans l’anneau sont plus susceptible de sortir s’ils sont proche de la queue.
Deuxième méthode calcule des fréquences :
création des matrices de markov :
toMarkov <- function (init){
m = init
for(i in 1:N){
num = sum(m[i,])
m[i,] = m[i,]/num
}
return(m)
}On vérifie que l’on obtient bien ce que l’on souhaite:
Mligne = toMarkov(ligne)
Manneau = toMarkov(anneau)
Msucette = toMarkov(sucette)
Mligne## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
## [1,] 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
## [2,] 0.5 0.0 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
## [3,] 0.0 0.5 0.0 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
## [4,] 0.0 0.0 0.5 0.0 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
## [5,] 0.0 0.0 0.0 0.5 0.0 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0
## [6,] 0.0 0.0 0.0 0.0 0.5 0.0 0.5 0.0 0.0 0.0
## [7,] 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.5 0.0 0.5 0.0 0.0
## [8,] 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.5 0.0 0.5 0.0
## [9,] 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.5 0.0 0.5
## [10,] 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0Matrice de départ :
init = matrix(rep(1/N,N*N),nrow=N)fonction permettant de simuler t déplacement :
deplacement <- function (m , t){
res = init
for (i in 1:t){
res = res %*% m
}
return(res)
}- cas pour la ligne
options(digits=3)
depl = deplacement(ligne,1000)
depl## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7]
## [1,] 4.2e+281 8.07e+281 1.13e+282 1.36e+282 1.48e+282 1.48e+282 1.36e+282
## [2,] 4.2e+281 8.07e+281 1.13e+282 1.36e+282 1.48e+282 1.48e+282 1.36e+282
## [3,] 4.2e+281 8.07e+281 1.13e+282 1.36e+282 1.48e+282 1.48e+282 1.36e+282
## [4,] 4.2e+281 8.07e+281 1.13e+282 1.36e+282 1.48e+282 1.48e+282 1.36e+282
## [5,] 4.2e+281 8.07e+281 1.13e+282 1.36e+282 1.48e+282 1.48e+282 1.36e+282
## [6,] 4.2e+281 8.07e+281 1.13e+282 1.36e+282 1.48e+282 1.48e+282 1.36e+282
## [7,] 4.2e+281 8.07e+281 1.13e+282 1.36e+282 1.48e+282 1.48e+282 1.36e+282
## [8,] 4.2e+281 8.07e+281 1.13e+282 1.36e+282 1.48e+282 1.48e+282 1.36e+282
## [9,] 4.2e+281 8.07e+281 1.13e+282 1.36e+282 1.48e+282 1.48e+282 1.36e+282
## [10,] 4.2e+281 8.07e+281 1.13e+282 1.36e+282 1.48e+282 1.48e+282 1.36e+282
## [,8] [,9] [,10]
## [1,] 1.13e+282 8.07e+281 4.2e+281
## [2,] 1.13e+282 8.07e+281 4.2e+281
## [3,] 1.13e+282 8.07e+281 4.2e+281
## [4,] 1.13e+282 8.07e+281 4.2e+281
## [5,] 1.13e+282 8.07e+281 4.2e+281
## [6,] 1.13e+282 8.07e+281 4.2e+281
## [7,] 1.13e+282 8.07e+281 4.2e+281
## [8,] 1.13e+282 8.07e+281 4.2e+281
## [9,] 1.13e+282 8.07e+281 4.2e+281
## [10,] 1.13e+282 8.07e+281 4.2e+281plot(depl[1,])
On remaque une structure en cone, cela peut s’expliquer que comme les extrémités sont moins fréquents on va tendence à rester plus au centre.
- cas pour l’anneau
options(digits=3)
depl = deplacement(anneau,1000)
depl## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
## [1,] 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300
## [2,] 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300
## [3,] 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300
## [4,] 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300
## [5,] 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300
## [6,] 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300
## [7,] 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300
## [8,] 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300
## [9,] 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300
## [10,] 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300
## [,7] [,8] [,9] [,10]
## [1,] 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300
## [2,] 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300
## [3,] 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300
## [4,] 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300
## [5,] 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300
## [6,] 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300
## [7,] 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300
## [8,] 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300
## [9,] 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300
## [10,] 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300 1.07e+300plot(depl[1,])
On voit que tous les étas sont parfaitement équiprobable.
- cas pour la sucette
options(digits=3)
depl = deplacement(sucette,930)
depl## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7]
## [1,] 9.23e+301 6.9e+301 6.23e+301 5.56e+301 6.23e+301 6.9e+301 9.23e+301
## [2,] 9.23e+301 6.9e+301 6.23e+301 5.56e+301 6.23e+301 6.9e+301 9.23e+301
## [3,] 9.23e+301 6.9e+301 6.23e+301 5.56e+301 6.23e+301 6.9e+301 9.23e+301
## [4,] 9.23e+301 6.9e+301 6.23e+301 5.56e+301 6.23e+301 6.9e+301 9.23e+301
## [5,] 9.23e+301 6.9e+301 6.23e+301 5.56e+301 6.23e+301 6.9e+301 9.23e+301
## [6,] 9.23e+301 6.9e+301 6.23e+301 5.56e+301 6.23e+301 6.9e+301 9.23e+301
## [7,] 9.23e+301 6.9e+301 6.23e+301 5.56e+301 6.23e+301 6.9e+301 9.23e+301
## [8,] 9.23e+301 6.9e+301 6.23e+301 5.56e+301 6.23e+301 6.9e+301 9.23e+301
## [9,] 9.23e+301 6.9e+301 6.23e+301 5.56e+301 6.23e+301 6.9e+301 9.23e+301
## [10,] 9.23e+301 6.9e+301 6.23e+301 5.56e+301 6.23e+301 6.9e+301 9.23e+301
## [,8] [,9] [,10]
## [1,] 1.16e+302 7.44e+301 3.32e+301
## [2,] 1.16e+302 7.44e+301 3.32e+301
## [3,] 1.16e+302 7.44e+301 3.32e+301
## [4,] 1.16e+302 7.44e+301 3.32e+301
## [5,] 1.16e+302 7.44e+301 3.32e+301
## [6,] 1.16e+302 7.44e+301 3.32e+301
## [7,] 1.16e+302 7.44e+301 3.32e+301
## [8,] 1.16e+302 7.44e+301 3.32e+301
## [9,] 1.16e+302 7.44e+301 3.32e+301
## [10,] 1.16e+302 7.44e+301 3.32e+301plot(depl[1,])
On remarque la même chose pour l’élement en fin de queue et celui relier à la queue et à l’anneau cependant l’état qui est à l’opposé de la queue ( l’état 4 ) est le moins susceptible de sortir dans l’anneau.
Troisième méthode :
Fonction qui calcule pi :
pi <- function (m){
return( eigen(t(m)) )
}pi(ligne)## $values
## [1] 1.919 1.683 1.310 0.831 0.285 -0.285 -0.831 -1.310 -1.683 -1.919
##
## $vectors
## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
## [1,] 0.120 0.231 -0.322 0.388 0.422 0.422 0.388 -0.322 0.231 -0.120
## [2,] 0.231 0.388 -0.422 0.322 0.120 -0.120 -0.322 0.422 -0.388 0.231
## [3,] 0.322 0.422 -0.231 -0.120 -0.388 -0.388 -0.120 -0.231 0.422 -0.322
## [4,] 0.388 0.322 0.120 -0.422 -0.231 0.231 0.422 -0.120 -0.322 0.388
## [5,] 0.422 0.120 0.388 -0.231 0.322 0.322 -0.231 0.388 0.120 -0.422
## [6,] 0.422 -0.120 0.388 0.231 0.322 -0.322 -0.231 -0.388 0.120 0.422
## [7,] 0.388 -0.322 0.120 0.422 -0.231 -0.231 0.422 0.120 -0.322 -0.388
## [8,] 0.322 -0.422 -0.231 0.120 -0.388 0.388 -0.120 0.231 0.422 0.322
## [9,] 0.231 -0.388 -0.422 -0.322 0.120 0.120 -0.322 -0.422 -0.388 -0.231
## [10,] 0.120 -0.231 -0.322 -0.388 0.422 -0.422 0.388 0.322 0.231 0.120Ce n’est pas ce qu’on attend ..
J’ai eu recours au paquet DTMCPack afin de calculer directement .
- ainsi on obtient pour la ligne :
p = DTMCPack::statdistr(Mligne)
p## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
## [1,] 0.0556 0.111 0.111 0.111 0.111 0.111 0.111 0.111 0.111 0.0556plot(p[1,])
- ainsi on obtient pour l’anneau :
p = DTMCPack::statdistr(Manneau)
p## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
## [1,] 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1on voit clairement que c’est équiprobable
- ainsi on obtient pour la sucette:
p = DTMCPack::statdistr(Msucette)
p## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
## [1,] 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.15 0.1 0.05plot(p[1,])
Pour savoir la probabilité on peut juste compter les liens.